содержащее dso/dy. Подстановка (2.69) и (2.70) с учетом (2.63) в (2.55) и следующей из (2.69) зависимости z от 7 и j приводит к результату
эу ЗР
(tgT+ 0)"sin7 (tgT + 0) -
- ~ {E{.~ - 7, e) - F( - 7, e) ],
где 17 =/6.
Согласно (2.51), (2.55) и (2.70),
Oz 0cos7(tg4+0
(tg7+/3)-0T,
(2.76)
(2.77)
Видно, что прн 17 = о это выражение совпадает с (2.57). а при \у\> b и Z = 0(vJ = ± 7г/ 2) напряжение 5 = 0. В соответствии с (2.54), интегрирование равенства (2.75) дает
щдЛ- , е) -F( , е)] + 1 - Г-
[arctg-- arctg-]; Vl-(e + /3"n")cos7.
e 3t) /Зг)
(2.78)
Из (2.51), (2.75), (2.78) следует
Оу 1
eY е
)3(1 - 2i)[l + У--(arctg-- arctg-)] +
е pri 3т)
cos 7 ,-.-, п
+ 2К1 -)f-- Vt?7+1+ 2Г№ - и)Е(- - У.е)-
tg7 2
- f)F(--у,е)].
(2.79)
При = О эта формула совпадает с (2.65), а на малой оси Эллипса контакта, т.е. при 7 = О = 0,Ы < 1),
= - -[(1 - 2р)+ (2v- /3)Vr-
.-(arctg--arctg-)],
(2.80)
при 7? = ± 1, Т.е. на концах малой оси,
= -(1-2) (1--arctg-).
Интегрирование выражения (2.76) в соответствии с (2.54) дает
(2.81)
Эк 2яр„
COS7Sln7
- Е(--7. е) +
V1 -ecos 7 0т, е
+ F(- г е)] +-[arctg- - arctg(- \/sin7+13(1 -t?)cos4)]+
Vsin7 + 0(1 - Ti)cos7
+ j3(--1) .
sin 7 + P cos 7 Из (2.51),(276), (2.82) и (2.75) следует
(2.82)
+ 2v - +
1 - 21-
+ т - 2f)
tg7 Vtg7+ P
Дт) e e
]sin7 +
[arctg--arctg(-Vsm7 + jSl - r?)cos7l +-
N/sin7+ 0(1 - Ti)cos7 , я
+ V-y P i--T 2r[(p-l)F(- -7.e) +
sin 7 + p cos7 2
+ (1 - «)PF(- - 7, e)
При = 0, tg7 = z/a эта формула сводится к (2.66); при этом на малой оси эллипса контакта
(2.83)
= --[р(2р - 1) + (1 - 2pei)s/r +
Р(1 - 2v)n
(arctg--arctg-
(2.84)
на концах малой оси
-=-(1 - 2v) - (-arctg--1).
Ро е е Р
(2.85) 69
Формулы (2.77), (2.79) и (2.83) можно также записать в переменных V> и 7, выразив г? и f через <риус учетом соотношений (2.69).
Линейный контакт. Эллипс контакта в подшипниках качения, как правило, достаточно вытянут ( = 0,1...0,3), поэтому представляют интерес формулы для напряжений при 3 «С 1. Для роликового подшипника j3 = 0. При - О координаты (2.69) неудобны, так как а °°. Используем переменные 17,5" и X = so/b; тогда при j3 = О
Tyz
(2.86)
При необходимости учесть следующий порядок в разложении Ту и Oz по степеням j3 выражения (2.86) следует умножить на 1 - Х/3/2. Тогда они будут верны на расстояниях от центра контакта, много меньших длины большой оси эллипса. По формулам (2.79) и (2.83) с учетом связи 4y = Vsola
- =-2Г(\ Ро
/l+ \
:(V-
/l + \ X
(2.87)
в переменных ip,a = s/J/b - s/Y"
"У
a co% If
(2.88)
= -cosvJ[(-
+ cos
+ l)Va + 1 - 2a].
Одним из главных напряжений является Ох- Два других определяем по формулам
= - cosVa + 1- aXl ± ). (2.89)
Ро s/ot + cos
Максимальное по всем возможным ортогональным к плоскости Oyz площадкам касательное напряжение
«тах (а VaMT-a)cosv>
\Jcosifi
(2.90)
Условия экстремума Tmax(9Tmax/9v5 = Эттах/Эх = 0) приводят к равенствам \р = О, а V + 1 = 1. Корень последнего уравнения а « 0,786. Таким образом, максимальное по осям Оу и Oz значение Ттах = 0.3 ро достигается на глубине z = 0,786 b. На оси Oz главные напряжения Oi и совпадают с я Оу, так что площадки, на которых касательное напряжение максимально, делят углы между осями Оу и Oz пополам.
С точки зрения наблюдателя, связанного с точкой или линией контакта, при качении шарика или ролика частицы материала проходят через поле напряжений, испытывая цикл нагружения. При фиксированном значении Z имеем z/cos <р,а = f/cos tfi. Формулы (2.88) при заданном f прини-
мают вид
Tyz ?cos sin¥»
f + COSV"
Oz . Vf + cos*
-- = - cosV--
Po f + cosV
Z =2г--vr" + cosv:
(2.91)
f + cos*
Видно, что в процессе движения частшц>1, т.е. при изменении р, напряжение Ту меняет знак, а и а, остаются сжимающими. На площадке, наклоненной под углом к плоскости Оху (рис. 2.11), действует касательное напряжение
Тф =-T,zCos2i -0,5(о у - az)sin2i .
С учетом формул (2.91)
cosVsinvcos2 - lcos?v> - ?(ч/{- cosV- •))sin2(<
(2.92)
Для = ± 7г/2 при всех \& напряжение равно нулю. Другие значения ур, при которых обращается в нуль, определяем иэ условия
cos ifimtfi
= tg2\(/.
(2.93)
cosV - f(Vf + cosV - ?)
Корни ? = cosv знаменателя можно найти из уравнения t* -{1 - 20f. Прн f » 1 Г = 0,5, (/) =±0,57. Для больших f условие (2.93) имеет вид
Щ2ф = tg2v>.
Таким образом, для любого ф Ф О напряжение обращается в нуль два раза на интервале (- 7г/2, я/2), а для = О - один раз. Достаточно
Рис. 2.11
г 3 и
Рис. 2.12
ем из (2.91); приф = п/8 Р и напряжение -- Ту определя-
V8 = COsVsiny. - cosy + + cose,- f)
(f + cosV)\/2
при ф = Ti/4
Ч* f(VP+HiV- f) - cosV Po f + cosV
при Ф = 37Г/8
cosisin;* cosv - ?(\/? + cos-r f)
Po (f + CO 5*)71
Условие дтф/др = О зкстремума т,;, прн фиксированном f имеет вид cos2i [cos(/3(cosi/)+ 4f*cosi/>-3?)] + f sin
График функции (2.95) представлен на рис. 2.12. Значения и, при которых \тф I максимально, определяются как абсциссы точек пересечения графика штриховой линией. Например, для ф = я/8 корни уравнения (2.95): и= 1; - 2 ± ТТПри и = м, = 1. tgV=\/l причем i, я/4,
если f <»; прн ы = з = ~ 2 ±
(3 + 2V3)? + ч/(7 T4vTy(7f +4)-tgV2,3 =-- •
Если f -> оо, то 12 - 19°, vs - 70°. Для i/ = Зя/8 углы vl, va, меняют знаки по сравнению с случаем ф= Зя/8. В общем случае углы определяем из формулы
tgV = o,5[« - 1 + VPo7T17Tl/f],
причем знак tgi,;? совпадает со знаком и. На рис 2.13, а-д изображены зави-
