по известному значению v производные от w, входящие в формулы (2.51), можно найти интегрированием:
~ -~-dz (а = 0,1,2).
г эх«эу-«
(2.54)
Таким образом, для вычисления напряжений достаточно найти одну функщ1ю \(х, у, z).
Так как подьштегральная функщм в (2.52) с учетом (2.53) обращается в нуль при S = So, то для производных от V верны следующие формулы:
э V 3Pz
эх 2 (fl+s„)" V(6+ Эх
s„ (e+ s)" 7(6+ s)s
av ЗР
2 (6 + s.) "N/(a+s,)s.
(2.55)
(6 + s)"V( + s)s
эу 3 J
- /-
s, s" V(F+l)(6~r7)"
Производные от So определяем дифференщ1рованнем уравнения (2.53):
3S»
эх (e+So)r 8s, 2z
by (6 + s.)r
(2.56)
Y=Y(x,y.z) =
(fl+S,) (6+s.) s
Напряжение под центром контакта. На оси Oz координаты хиу равны нулю; при этом решением уравнения (2.53) является So = , а смешанные производные от v в (2.55) обращаются в нуль. Поэтому на оси Oz отсутствуют касательные напряжения, а а, Оу и являются главными напряжениями. Из формул (2.55) следует, что
эу av
- -Z -
V(fl + z)(6 + z)
a из (2.51) с учетом P = 2тгроаЬ/3 az 1
(2.57)
где = z/b - безразмерная глубина; = b/a- отношение длин полуосей эллипса контакта.
Формула (2.57) получена В.М. Макушиным. Напряжение а,на поверхности равное -ро, монотонно убывает по абсолютному значению, стремясь
к нулю при2-+оо.
в выражениях для и Оу входят норманьные эллиптические интегралы первого и второго рода
о \/1 - sin* ip
; Е(ф,е)= /Vl-esinVv.
(2.58)
где е = у/ I - - эксцентриситет эллипса контакта.
Для любого Sq верно проверяемое дифференцированием тождество
Отсюда следует
Эу 2np,z 1 nA7 , /
- =-[-(arcctg-, е) - V-
bz в а я s„(fl + s„)
£(arcctg-, е).
6 + s„
(2.59)
Интеграи в формуле (2.55) для Эу/Эх заменой s =actgv3 приводим к
виду
2 ч/ л/Т7
--[£(arcctg-, е) - F(arcctg-, е)],
ае а д
откуда
-;-[arcctg-, е) - F(arcctg-, е)].
(2.60)
Интегрирование этого равенства по частям от z до <» при Sq = z дает
Z г г
- [£(arcctg- ,е) - Fl(arcctg-, е)] + а а а
/б + Z
+ 1- V-
а + Z
В силу тождества
bva}ifdif
1 Е(ф,е}
= -те)]
(2.61)
(2.62)
Q(l-esinV)>" е» р pVl-esin,
интеграл в формуле (2.55) для ду/ду при s = actgvJ сводится к
Выражения для и Оу можно привести к формулам, полученным В.М. Макушиным:
на поверхности (f = 0)
= 1 1,
2v+ &
о у 1+21-
Ро Ро 1+3
для цилиндров (Р = 0) 3-444
1+ д
= 2Kr-Vn);
(2.67)
= 2Г-
1+ 2Г
Po s/1 + f
для круговой площадки контакта = 1)
1 + f
(2.68)
= - = - [(1 - "XI - Г arcctgr)------------
Ро 2(1 + f)
Для получения этих формул нз (2.65), (2.66) необходимо раскрыть неопределенность при е 0. Все напряжения стремятся к нулю при f «>.
Напряжения в плоскости Oyz. Наибольший интерес представляет распределение напряжений в плоскости, проходящей через малую ось эллипса контакта перпендикулярно к поверхности. При качении шарика по желобу в направлении Ох каждая частица материала шарика или кольца испытывает цикл переменного нагружения. Согласно Лундбергу и Пальмгрену, на поверхности, т.е. при X = О, для удобства выкладок вводим углы у и р, связанные с декартовыми координатамиz следующими равенствами:
(2.69)
у =\/Ь + atg7sinv5; z = atg7cosi. Тогда решением уравнения (2.53) является
So=atg4. (2.70)
Кривые 7 = const представляют собой части эллипсов с центром в точке О и полуосями V fc +atg7 и а tgy (рис. 2.10), кривые const-гиперболы с асимптотамид = zig, проходящие через точкиг = 0,у = Ь sin( = 0,2).
Из формул (2.55) следует, что прих = О равны нулю Эу/ЭхЭд и 8v/3x8z и, следовательно, Тху = tz = С Согласно (2.51), (2.55), (2.56), (2.70),
Тут cossinsinT
- = -/3-
Ро tgT + 0cosV
(2.71)
Напряжение Tyz = О при у = 0(р = 0), при z = О (у? == ± 7г/2 или 7 = 0), при у + г оо (7 7г/2). Наибольшее значение ]ту2 \ определяем с помощью уравнений bTyzlbp = dTyz/by = О, котортле сводятся к системе 66
ср=-73
Рис 2.10
tg7(2tgV + tgV-1) =/3;
tg7(l+tgV)(2tg4+ 1) = ;
откуда tg7 = tgv? - 1 = ? - 1, где t - решение уравнения (? - 1)(2г - 1) = = j3. Значение t как функции j3 с точностью ± 2 % представим, согласно Б. Хэмроку и Д. Даусону, формулой
f = 1+ 0,3044»"».
Координаты точки MaKCHM3Tvia \ту2 \ находим по формулам
2о=ГоЬ = №+ 1)ч/2Г] =flV(?-i)/(r + i);
Уо = ±nofc = ± ьЫф+ i)K2t- mt + 1).
Максимум I Tyz\ есть
To=Poy/2r~T/l2tit+ 1)].
(2.72)
(2.73)
(2.74)
Напряжения а, Оу, Oz определить несколько сложнее. Формулы (2.59) и (2.60) верны для любых х, у, z. Подстановка в них Sq из (2.70) дает
3v COST /, - = - 27фоГ[-+ tg7 - £(- - У, е)];
9Z tgT 2
(2.75)
[£•(- -7.e)-F(- - у,е)].
Эх ее ~ 2 2
В выражении (2.55) дляЭу/Эд появляется отличное от нуля слагаемое,
