называются осевыми, линейными или экваториальнымимоментсши инерции плацади фигуры (рис, 32) относительно оси г н оси у;
l,,=jyzdF
(72):
- центробежный момент инерции площади фигуры относительно двух взаимно перпендику1Ярных осей г к у;
l, = jpdP = I + I,
(73)
- полярный момент инерции площади фигуры относительно начала координат О.
Моменты инерции для параллельных осей, одни из которых (гРо) Z. центральные (рис 33):
Рис. 32
л = /.. + (°-*)
Моменты инерции для повернутых осей (рис. 34):
(74)
COS 2а +/ sin 2а,
g sin 2а +/,,cos2a,
4. =
(75)
Главные оси инерции плоской фигуры, т е две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции площади фигуры равен нулю, занимают положение, определяющееся уравнением
tg2a=-i. (76)
Площадь элементарной полоски толщиной dv
dF = tttdv --vdv.
Осевой момент инерции площади треугольника относительно оси и
ll= vdFltfldv-
Площадь эчементариой полоски толщиной du (рис. 36, б) dF = r,du-{a - 2м) du.
Осевой момент инерции площади треугольника относительно оси v
/;=2 f mW = 2- J u(a-2u)du==-.
Полярный момент инерции площади треугольника относительно точки О
.... аг аг sinjWJ
+-1-=A3i„cos-l.(3cos= + sin-) =
= sin a (2 + cos a).
Так как все треугольники, на которые разбивается «-угольник, равны между собой и опираются вершинами в точку О, то полярный момент инерции площади всего л-угольника относительно точки О
/р = «/р = sin а. (cosa + 2) = - sin а. (cos а. + 2).
В правильном «-угольнике имеется не менее 2 осей симметрии, которые не перпендикулярны друг к другу, поэтому все центральные оси являются главными осями инерции и моменты инерции площади многоугольника относительно них равны между собой и равны /, отсюда
/ = -i- /р = sin о (cos а -Ь 2) = sin а (cos а + 2).
ляется второй главной осью инерции фигуры для точки их взаимного пересечения.
Если плоская фигура имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести этой фигуры, являются ее главными центральными осями инерции. Осевые моменты инерции площади фигуры, вычисленные относительно этих осей, равны между собой.
Пример 16. Для правильного «-угольника со стороной а (рис.35) определить главные центральные моменты инерции, полярный момент инерции и построить центральный эллипс инерции.
Рис. 35
Решение. Центральный угол, опирающийся на сторону а,
Радиус описанной окружности
2sin-
Радиус вписанной окружности
r = cos--.
Рассмотрим одни треугольник с углом а при вершине (рис. 36, а) и найдем для него осевые моменты инерции /„, 1\ и полярный момент инерции /р.
