Из выражений (70) координаты центра тяжести фигуры получают значения:
Ьс(п + \) (л + 2) fee
n+1 n+2
Й + 1
n + \
2(2« + l)
2(2л+ 1)
Задачи 150-155. Определить положение центра тяжести фигуо.
«4
NfS"
126-125Ю
-г4020
§ 2. Моменты инерции площади фигуры
Определенные интегралы вида
Iy=\z dF
3 Заказ N. 886
где F - площадь фигуры, dF - ее элемент, а г ау координаты этого элемента
Координаты центра тяжести фигуры Zc и {/ определяются отношениями
(70)
Статические моменты площади фигуры относительно центральных осей равны нулю.
Рис. 30
Рис 31
Пример 15. Определить координаты центра тяжести площади фигуры, ограниченной прямолинейными отрезками Ь, с п параболой у = az" (рис 31)
Решение. Берем элемент площади фигуры dF = ydz = = az"dz, тогда площадь фигуры
FdF ajzdz
п 4- 1
Статический момент площади F относительно оси у определяем по формуле (69)
,= zdF = a 2"+ dz
п + 2
п + 2
Для определения статического момента площади фигуры относительно оси Z берем элемент площади
dF = (b - г) dy an(b - z) г"- dz.
Главные моменты инерции площади фигуры, т. е. осевые моменты инерции, вычисленные относительно главных осей инерции, имеют следующие экстремальные значения:
(77)
Если /уг<0, ТО главная ось, относительно которой момент инерции максимален, проходит через I и П1 квадранты
Рис 33
Рис. 34
Если /уг>0, то главная ось, относительно которой момент инерции максимален, проходит через и /V квадранты.
Главные оси, проходящие через центр тяжести площади фигуры, называются главными центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей - главными центральными моментами инерции.
Положительные значения величии
(78)
называются радиусами инерции плоской фигуры относительно со-omeemcmeywuifiu оси.
Эллипс, построенный по уравнению
(79)
называется эллипсом инерции фигуры. Здесь оси у н г - главные оси инерции фигуры Обычно эллипс инерции строится на главных центральных осях плоской фигуры.
Ось симметрии плоской фигуры является главной осью инерции этой фигуры Любая ось, перпендикулярная оси симметрии, яв-
